矩陣最小多項式

矩陣的最小多項式（Minimal Polynomial）是一個對矩陣進行特徵分解的重要概念。最小多項式是指一個使得矩陣可被該多項式整除的最小多項式，並且該多項式沒有重根。

給定一個 n 階矩陣 A，其最小多項式 p(x) 是一個使得 A 可被 p(x) 整除的多項式，且對於任何一個使得 A 可被整除的多項式 q(x)，都有 p(x) 是 q(x) 的因式。換句話說，最小多項式是所有可以整除矩陣 A 的多項式中，度數最小的那一個。

最小多項式可以通過以下方法來找到：

1. 計算矩陣 A 的特徵多項式。
2. 找到特徵值。
3. 對於每個特徵值 λ，計算 A - λI 的最小多項式，其中 I 是單位矩陣。

最小多項式的一些性質：

• 最小多項式是唯一確定的，除了重根的情況。
• 最小多項式的度數不大於矩陣的階數。
• 最小多項式與特徵值的對應關係是一對一的，除了重根的情況。
• 最小多項式可以幫助我們判斷矩陣的可分解性。如果最小多項式的度數等於矩陣的階數，則矩陣是可分解的；如果小於矩陣的階數，則矩陣是不可分解的。

最小多項式的應用非常廣泛，尤其是在線性代數、控制理論、信號處理和數值分析等領域。