消元法求最值

消元法是一種數學方法，用於解決含有多個變數的方程或不等式。在求解最值問題時，消元法通常用於將多個變數的方程組轉換為一個變數的方程，以便於找到最值。以下是使用消元法求最值的步驟：

1. 確定目標函式：首先，你需要確定要最小化或最大化的函式。這個函式通常包含一個或多個變數。

2. 設定約束條件：除了目標函式，你可能還有其他方程或不等式，這些是你的變數需要滿足的條件。

3. 消元：如果你的方程組中有多個變數，你需要使用代數方法（如加減消元法或代入消元法）將多餘的變數消去，使方程只剩下目標函式的變數。

4. 找到駐點：對於剩下的方程，你可以通過求導來找到駐點（導數為零的點）或極值點。

5. 檢查邊界條件：確保你的解滿足所有的約束條件。如果目標函式在邊界上有值，你需要檢查這些值是否也是可能的極值。

6. 確定最值：通過分析駐點和邊界條件，你可以確定目標函式的最小值或最大值。

舉個例子，考慮以下問題：

設函式 ( f(x, y) = 3x^2 + 4y^2 )，求 ( f ) 在 ( x + y = 1 ) 約束條件下的最小值。

首先，我們需要將約束條件 ( x + y = 1 ) 轉換為一個變數的問題。我們可以通過將 ( y ) 表示為 ( x ) 的函式來實現這一點。從約束條件中解出 ( y )，得到 ( y = 1 - x )。

現在，我們可以用 ( y = 1 - x ) 替換目標函式 ( f(x, y) ) 中的 ( y )，得到 ( f(x) = 3x^2 + 4(1 - x)^2 )。

接下來，我們解出 ( f(x) ) 的最小值。為了找到最小值，我們首先對 ( f(x) ) 求導，得到 ( f'(x) = 6x - 8x + 8 = -2x + 8 )。

為了找到駐點，我們需要找到 ( f'(x) = 0 ) 的解。解這個方程，得到 ( x = 4 )。

現在我們需要檢查這個駐點是否是最小值。在 ( x = 4 ) 處，( y = 1 - 4 = -3 )，但這不符契約束條件 ( x + y = 1 )。因此，( x = 4 ) 不是一個有效的解。

由於 ( f(x) ) 是二次函式，它在 ( x = 4 ) 處沒有定義，我們需要檢查 ( f(x) ) 在其定義域內的邊界條件。由於 ( x ) 和 ( y ) 都是非負的，我們需要檢查 ( x = 0 ) 和 ( x = 1 ) 時的值。

在 ( x = 0 ) 時，( y = 1 )，所以 ( f(0, 1) = 3(0)^2 + 4(1)^2 = 4 )。

在 ( x = 1 ) 時，( y = 0 )，所以 ( f(1, 0) = 3(1)^2 + 4(0)^2 = 3 )。

比較這兩個值，我們發現 ( f(1, 0) = 3 ) 是 ( f(x, y) ) 在約束條件 ( x + y = 1 ) 下的最小值。