法方程最小二乘

在數學和統計學中，最小二乘法是一種用來求解線性方程組的方法，其目的是找到最佳擬合直線（在二維空間中）或平面（在三維空間中），使得這些直線或平面與數據點之間的距離最小。這種方法通常用於數據分析、信號處理、圖像處理和機器學習等領域。

最小二乘法的原理是找到一組參數，使得這些參數與數據點之間的誤差平方和最小。這個誤差平方和通常被稱為損失函式，它衡量了模型的預測值與實際觀測值之間的差異。最小化這個誤差平方和可以使得模型的預測值與實際觀測值之間的差異最小，從而得到最佳的模型參數。

最小二乘法的數學表達式如下：

[ \min{\beta} \sum{i=1}^{n} (y_i - \beta^T x_i)^2 ]

其中，( y_i ) 是第 ( i ) 個觀測的回響變數，( x_i ) 是第 ( i ) 個觀測的預測變數，( \beta ) 是模型的參數向量，( n ) 是觀測的數量。

為了找到最小值，我們可以對 ( \beta ) 求偏導數，並設定其為零：

[ \frac{\partial}{\partial \beta} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta^T x_i)^2 = 0 ]

解這個方程組，我們就可以得到最佳的模型參數 ( \beta )。

最小二乘法的一個優點是它對異常值具有一定的魯棒性，因為異常值不會對損失函式產生過大的影響。然而，最小二乘法也有一些缺點，例如它假設誤差是常態分配的，並且它可能會過度擬合數據。

在實際套用中，最小二乘法通常用於線性回歸模型中，其中模型的參數 ( \beta ) 是通過最小化損失函式來估計的。最小二乘法也可以用於其他類型的模型，例如邏輯回歸和廣義線性模型。