根號相加最小值
當你在說「根號相加」時，我猜你是指兩個或更多根號的和。例如，你可能會問：「當x和y為實數時，什麼時候有最小值？」
為了找到這樣的值，我們可以考慮幾個例子：
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當x和y都為0時，根號的和最小，因為任何正數的平方根都大於或等於0。
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當x和y為相反數時，根號的和也最小，因為這時平方根相互抵消。
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當x和y為相等的正數時，根號的和也最小，因為這時平方根相互抵消。
然而，這些情況並不一定總是最小的，因為它們取決於x和y的具體值。為了找到一般情況下的最小值，我們可以設立一個方程來表示根號的和，然後找到這個方程的最小值。
例如，假設我們有兩個根號的和：
[ \sqrt{x} + \sqrt{y} ]
為了找到這個和的最小值，我們可以設立一個方程來表示它：
[ \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)^2 = x + y + 2\sqrt{xy} ]
現在，我們可以設立一個目標函數，即我們想要最小化的函數：
[ f(x, y) = x + y + 2\sqrt{xy} ]
為了找到這個函數的最小值，我們可以使用微分來找到極值點。首先，我們對x求偏導數，並設置導數為0：
[ \frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \frac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = 0 ]
解這個方程，我們得到：
[ \sqrt{x} = -\sqrt{y} ]
因為平方根必須是非負的，所以我們得到：
[ x = y ]
這意味著當x和y相等時，我們的目標函數取最小值。現在，我們可以設立一個新的目標函數，只包含一個變量：
[ g(x) = x + x + 2\sqrt{x^2} = 2x + 2\sqrt{x^2} ]
再次對x求偏導數，並設置導數為0：
[ \frac{\partial g}{\partial x} = 2 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2}} = 0 ]
解這個方程，我們得到：
[ x = 0 ]
這意味著當x和y都為0時，我們的目標函數取最小值。因此，當x和y都為0時，根號的和取最小值。