柯西不等式最小值

柯西不等式是一個數學不等式，用於比較兩個數列或向量的乘積和它們的和或差。柯西不等式的一般形式是：

對於任意實數 a_1, a_2, \ldots, a_n 和 b_1, b_2, \ldots, b_n，我們有

(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) \, (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)

若且唯若 a_i b_i = a_i^2 b_i^2 對所有 i 成立時，等號成立。

柯西不等式的一個常見套用是找到兩個數列或向量的乘積的最小值。如果我們要找到兩個數列 a_i 和 bi 的乘積 \prod{i=1}^n a_i b_i 的最小值，我們可以使用柯西不等式來找到這個最小值。

設 A = \sum_{i=1}^n ai^2 和 B = \sum{i=1}^n b_i^2，則根據柯西不等式，我們有

\left(\sum_{i=1}^n a_i bi\right)^2 \leq \left(\sum{i=1}^n ai^2\right) \left(\sum{i=1}^n b_i^2\right) = A B

因此，\sum_{i=1}^n a_i b_i 的最小值是 \sqrt{AB}。

如果我們要求 \prod_{i=1}^n a_i b_i 的最小值，我們可以使用上面的結果。令 \alpha_i = \frac{a_i}{\sqrt{A}} 和 \beta_i = \frac{b_i}{\sqrt{B}}，則我們有

\prod_{i=1}^n a_i bi = \left(\prod{i=1}^n \alpha_i \betai\right) \, A B = \left(\prod{i=1}^n \alphai\right) \left(\prod{i=1}^n \beta_i\right) \, A B

因為 \alpha_i 和 \betai 都是正的，所以 \prod{i=1}^n \alphai 和 \prod{i=1}^n \betai 都是非負的。因此，\prod{i=1}^n a_i b_i 的最小值是若且唯若 \alpha_i = \beta_i 對所有 i 成立時取得，即當 a_i = \sqrt{A} \alpha_i 和 b_i = \sqrt{B} \beta_i 時取得。

此時，我們有

\prod_{i=1}^n a_i bi = \left(\prod{i=1}^n \alpha_i \betai\right) \, A B = \left(\prod{i=1}^n \alphai\right) \left(\prod{i=1}^n \betai\right) \, A B = \left(\prod{i=1}^n \alphai\right)^2 \, A B = \left(\prod{i=1}^n \alpha_i\right)^2 \, A B

因此，\prod_{i=1}^n a_i bi 的最小值是 \left(\prod{i=1}^n \alpha_i\right)^2 \, A B。這個最小值可以通過選擇適當的 \alpha_i 和 \beta_i 來達到，這些 \alpha_i 和 \betai 使得 \prod{i=1}^n \alpha_i \beta_i 的值最大。