柯西不等式最大值

柯西不等式是一個數學不等式，用於比較兩個數列或向量的和的平方與積的平方之間的關係。柯西不等式的標準形式是：

對於任意實數 a_1, a_2, ..., a_n 和任意實數 b_1, b_2, ..., b_n，我們有：

(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 ≤ (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)

若且唯若 a_i b_i = a_j b_j 對所有 i, j 成立時，等號成立。

柯西不等式的一個推論是，如果 a_1, a_2, ..., a_n 和 b_1, b_2, ..., b_n 都是正數，那麼我們可以得到：

a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n ≥ n √(a_1 b_1 a_2 b_2 ... a_n b_n)

若且唯若 a_i = b_i 對所有 i 成立時，等號成立。

這個不等式給出了和的乘積與每個因子的乘積之間的關係，並且給出了和的最大值。最大值是通過讓所有 a_i 和 b_i 相等來實現的。