松弛操作最短路徑

鬆弛操作（Relaxation）是一種在最短路徑問題中常用的算法技巧，用於更新邊權和距離估計。在圖論中，最短路徑問題是指找到兩個頂點之間路徑中權重總和最小的路徑。最短路徑問題有許多算法可以解決，包括但不限於Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。

鬆弛操作是這些算法中的一個關鍵步驟，它允許我們更新頂點之間的距離估計。在鬆弛操作中，我們檢查一條邊的權重是否可以減少從源點到某個頂點的最短路徑的長度。如果可以，我們就更新這個距離估計。

例如，考慮Dijkstra算法，它用於找到從圖中某個頂點（稱為源點）到其他所有頂點的最短路徑。在Dijkstra算法中，鬆弛操作的步驟如下：

1. 從源點開始，我們維護一個包含所有頂點的集合，稱為「已處理」集合和「未處理」集合。
2. 我們從源點開始，找到未處理集合中距離源點最近的頂點，並將它移動到已處理集合中。
3. 對於已處理集合中的頂點，我們檢查它與未處理集合中的相鄰頂點之間的邊。如果通過這條邊可以從已處理頂點到達未處理頂點的距離比未處理頂點當前的最短路徑距離更短，我們就進行鬆弛操作，更新未處理頂點到源點的距離估計。
4. 重複步驟2和3，直到所有頂點都被移動到已處理集合中，或者直到沒有未處理的頂點可以通過已處理的頂點得到更短的距離估計。

鬆弛操作是動態規劃算法中的一個概念，它允許我們疊代地改進我們的解，直到找到最優解。在Bellman-Ford算法中，鬆弛操作用於檢查圖中是否存在負權邊，而在Floyd-Warshall算法中，鬆弛操作用於找到所有頂點對之間的最短路徑。