期望最大化聚類

期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法是一種疊代算法，用於解決含有隱變數的機率模型參數估計問題。在聚類分析中，EM算法常用於估計混合高斯模型（Gaussian Mixture Model, GMM）的參數，這是一種無監督學習方法。

在GMM中，我們假設數據是由多個高斯分布混合而成的，每個高斯分布代表一個潛在的簇。聚類的目標是通過疊代調整每個高斯分布的參數（均值、方差和混合係數），使得數據點能夠最好地被這些高斯分布所解釋。

EM算法的步驟如下：

1. E步（Expectation Step）: 在這個步驟中，我們計算每個數據點屬於每個高斯分布的後驗機率，即每個數據點屬於每個簇的可能性。

2. M步（Maximization Step）: 在這一步中，我們使用E步計算得到的後驗機率，來更新每個高斯分布的參數，使得模型的似然函式最大。

3. 重複E步和M步，直到參數的更新變得足夠小，或者達到預設的疊代次數為止。

在聚類問題中，EM算法的優點在於它能夠處理數據中的缺失值，因為EM算法本身就是為處理隱變數而設計的。EM算法的缺點是它是一個疊代算法，可能需要多次疊代才能收斂，並且它可能會陷入局部最優解。

EM算法在聚類中的套用主要是針對GMM模型，但它也可以套用於其他含有隱變數的模型，如隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Models, HMMs）和潛在 Dirichlet 分配（Latent Dirichlet Allocation, LDA）等。