期望最大化算法原理

期望最大化（Expectation-Maximization，EM）算法是一種疊代方法，用於估計機率模型或高維機率分布中的參數。它主要套用於隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Models，HMM）和聚類等任務。EM算法基於最大化期望（Expectation）和最大化最大化（Maximization）兩個步驟交替進行，以找到問題的最優解。

以下是EM算法的基本原理：

期望（Expectation）步驟：計算目標機率分布對每個潛在變數的期望值。這通常涉及到從數據中採樣，並根據給定的模型參數進行機率加權。
最大化（Maximization）步驟：基於期望步驟中得到的潛在變數的期望值，更新模型的參數。這通常涉及到對每個參數進行最佳化，以最小化期望步驟中計算的損失函式。

這個過程會一直疊代進行，直到滿足某個停止條件（例如，達到預設的最大疊代次數，或者連續兩次疊代的參數變化小於某個閾值）。

在隱馬爾可夫模型（HMM）的估計中，EM算法首先初始化一個臨時的參數值，然後開始EM疊代過程。對於每一輪疊代，系統會執行以下兩個步驟：

期望（E-step）：為每一狀態和觀察值計算聯合機率分布。這通常涉及從HMM中採樣並使用給定的模型參數進行機率加權。
最大化（M-step）：最佳化模型的參數以最小化期望步驟中計算的損失函式。這通常涉及到對每個參數進行最佳化，以最大化期望步驟中計算的似然函式。

這個過程會一直疊代進行，直到滿足某個停止條件。在許多情況下，EM算法的收斂速度比其他方法更快，並且具有更高的精度。然而，它也可能出現局部最優解的問題，需要謹慎選擇初始化的參數值。

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