有界性與最大值最小值定理

有界性定理和最大值最小值定理是數學中的兩個重要概念，分別描述了函式和集合的有界性和最值性質。

有界性定理指出，如果函式f(x)的定義域為D，則對於任意的x∈D，函式f(x)的值域（即函式在定義域上的取值範圍）必定是有界的。也就是說，函式f(x)的值域包含在它的定義域中，且這個範圍是有限的。換句話說，函式的值域要麼包含在它的定義域內，要麼有上下界，並且不能是空的集合。

最大值最小值定理是一種常見的數學性質定理，它可以用來確定函式或集合的最值。在實數集合中，如果函式f(x)的定義域是連續的區間，那麼在任何相鄰的兩個自變數的距離足夠小的情況下，可以找到一個最大值和一個最小值。換句話說，函式在該區間內具有上界和下界。這個定理的證明涉及到函式圖像的性質和函式的導數等概念。

這些定理在數學分析、微積分、泛函分析等領域中有著廣泛的套用。它們可以幫助我們理解函式和集合的性質，以及如何找到它們的最值和邊界。