最適投資組合公式

最適投資組合（Optimal Portfolio）是指在給定的風險水平下，能夠獲得最大可能的報酬，或者是在給定的報酬目標下，能夠實現最小可能的風險的投資組合。最適投資組合的確定通常涉及使用現代投資組合理論，特別是馬可維茨投資組合理論（Modern Portfolio Theory, MPT）。

馬可維茨投資組合理論的基本假設是投資者是風險厭惡的，即他們傾向於避免風險。該理論使用期望報酬（expected return）和標準差（standard deviation）來量化投資的風險和報酬。標準差是用來衡量投資的總風險（包括系統性風險和非系統性風險），而系統性風險則通常通過β係數來衡量。

最適投資組合的公式通常涉及使用這些統計量來最大化投資組合的夏普指數（Sharpe Ratio）或特雷諾指數（Treynor Ratio），這兩個指數都是用來衡量投資組合風險調整後報酬的指標。

夏普指數的公式為： [ \text{Sharpe Ratio} = \frac{\mu - \sigma^2}{ \sigma} ] 其中，(\mu) 是投資組合的期望報酬，(\sigma) 是投資組合的標準差。

特雷諾指數的公式為： [ \text{Treynor Ratio} = \frac{\mu - r_f}{ \beta} ] 其中，(\mu) 是投資組合的期望報酬，(r_f) 是無風險利率，(\beta) 是投資組合的系統性風險（通常用β係數來表示）。

為了確定最適投資組合，投資者通常會使用優化算法，如梯度上升法、遺傳算法或 convex optimization 等，來尋找能夠最大化這些指數的投資組合。這些算法會考慮投資者的風險承受能力和報酬目標，以及投資組合中各個資產的相關性。

需要注意的是，最適投資組合的確定還涉及到對投資者偏好的理解，這通常需要通過問卷調查或投資者與財務顧問的對話來完成。此外，最適投資組合是一個動態的概念，它會隨著市場條件、投資者偏好和資產表現的變化而變化。因此，投資者需要定期重新評估和調整他們的投資組合。