最速降線證明

最速降線（Brachistochrone curve）問題是由瑞士科學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）於1696年提出的，問題是：在兩點之間，什麼樣的曲線可以使質量為m的物體在重力作用下，從高處A點下滑到低處B點的時間最短？

這個問題的答案是由伯努利的兄弟雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）找到的，他發現了最速降線是什麼。最速降線實際上是一段光滑的曲線，這段曲線可以使物體在沒有摩擦力的情況下，從A點下滑到B點的時間最短。

證明最速降線的方法通常使用微積分。我們可以設置一個方程，這個方程表示質量為m的物體在重力作用下，從A點下滑到B點的時間t。這個方程可以表示為：

[ t = \int_{A}^{B} \sqrt{\frac{g}{s}} ds ]

其中，s是曲線上的弧長，g是重力加速度的大小。我們要找到的曲線就是使得這個時間t最小的曲線。

為了找到這個最速降線，我們可以使用極端值的第二充分條件，即導數為零。我們對時間t的方程取導數，得到：

[ \frac{d}{ds} \left( \sqrt{\frac{g}{s}} \right) = 0 ]

解這個方程，我們得到：

[ \frac{d}{ds} \left( \sqrt{\frac{g}{s}} \right) = \frac{g}{2\sqrt{gs}} ]

因為導數為零，所以曲線的斜率必須滿足：

[ \frac{g}{2\sqrt{gs}} = 0 ]

這意味著曲線的斜率必須為零，即曲線必須是直線。這就是最速降線的證明。