最概然分布推導

最概然分布（Maxwell-Boltzmann distribution）是描述在給定溫度下，氣體分子的速度分佈的一種機率分布。這個分布是由詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）和路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）分別獨立提出的，因此得名為麥克斯韋-玻爾茲曼分布。

最概然分布的推導基於玻爾茲曼的統計力學框架，特別是玻耳茲曼的配分函數（partition function）的概念。配分函數是系統所有可能狀態的總和，可以用來計算系統的熱力學量。

對於一個單原子氣體分子，其配分函數可以寫成如下形式：

[ Z = \frac{1}{h^3} \int \exp \left( \frac{\beta \left( \frac{p^2}{2m} - \mu \right) \right) } dp ]

其中，( h ) 是普朗克常數，( m ) 是分子質量，( \beta = \frac{1}{k_B T} ) 是溫度的倒數，( k_B ) 是波茲曼常數，( T ) 是絕對溫度，( \mu ) 是分子化學潛能。

這個積分是對所有可能的分子的動量 ( p ) 的積分。最概然分布就是配分函數的導數除以配分函數本身，這給出了在特定速度 ( v ) 下分子數的對數變化率。

[ f(v) = \frac{d}{dv} \left( \ln Z \right) ]

將配分函數的表達式對 ( v ) 求導，並將結果除以 ( Z )，我們得到：

[ f(v) = \frac{1}{Z} \frac{d}{dv} \left( \frac{1}{\beta m} \exp \left( \frac{\beta \left( \frac{p^2}{2m} - \mu \right) \right) } \right) ]

將 ( p = mv )，我們得到：

[ f(v) = \frac{1}{Z} \frac{m}{\beta} \exp \left( \frac{\beta \left( \frac{p^2}{2m} - \mu \right) \right) \right) \left( \frac{\beta p}{m} \right) ]

將 ( p = mv ) 代入上式，並進行簡化，我們得到最概然分布的標準形式：

[ f(v) = \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} \exp \left( - \frac{m v^2}{2 k_B T} \right) ]

這個分布表明，在給定溫度下，氣體分子以某個特定速度 ( v ) 運動的機率與速度的二次方成反比，這就是麥克斯韋-玻爾茲曼分布。