最概然分布公式

最概然分布（Most Probable Distribution）是統計物理學中的一個概念，用於描述在一定條件下，一個系統的微觀狀態中哪種狀態是最有可能出現的。最概然分布可以通過能量均分定理（ equipartition theorem）來推導，這個定理指出在一個熱平衡的系統中，每個可用的能量模式（例如分子振動、轉動等）都會獲得相同份額的能量。

對於一個給定的系統，其最概然分布可以通過以下公式來描述：

對於一個有N個粒子的系統，每個粒子都有能量為ε的能級，則系統的總能量為E = Nε。在最概然分布下，系統中的粒子將均勻地分布在所有可用的能級上。這意味著每個能級上平均有g個粒子，其中g是能級的簡併度（degeneracy），即具有相同能量值的能級數。

最概然分布的公式可以表示為：

n_i = g_i * e^(-E_i / k_B T) / Z

其中：

• n_i 是能級i上的粒子數
• g_i 是能級i的簡併度
• E_i 是能級i的能量
• k_B 是玻爾茲曼常數
• T 是系統的絕對溫度
• Z 是配分函式（partition function），用於描述系統中所有可能微觀狀態的總和。

在最概然分布下，系統中的粒子數n_i 對於所有的能級i都是相同的，即n_i = n_0。這意味著對於每個能級，其能量和簡併度的乘積都是相同的，即g_i E_i = g_0 E_0，其中n_0是任何能級上的平均粒子數，E_0是平均能量。

通過能量均分定理，我們可以得出最概然分布下的平均能量E_0：

E_0 = N * ε

將這個結果代入最概然分布的公式中，我們可以得到：

n_0 = g_i e^(-N ε / k_B T) / Z

由於n_0對於所有能級都是相同的，我們可以將這個公式套用於任何能級，得到：

g_i e^(-E_i / k_B T) = n_0 Z

這個公式給出了在最概然分布下，系統中的粒子數是如何分配到各個能級上的。