最尤推定法例題

"最尤推定法"（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一種統計學方法，用於估計參數的最大似然估計值。這種方法的基本思想是找到使觀察到的數據出現的機率最大的參數值。

下面是一個簡單的例子，展示了如何使用最大似然估計法來估計一個參數：

假設我們有一個二項分布的實驗，我們投擲一枚硬幣，觀察正面的出現次數。硬幣是公平的，所以每次投擲出現正面的機率是0.5。我們進行10次投擲，觀察到5次正面和5次反面。

現在，我們想要估計硬幣出現正面的機率p。我們可以使用最大似然估計法來估計這個機率。

首先，我們需要寫出似然函式。對於二項分布，似然函式是：

L(p) = p^x * (1-p)^(10-x)

其中x是正面的次數，這裡是5次。

接下來，我們需要找到使L(p)最大的p值。為了找到這個最大值，我們可以對p求導，然後令導數為0。

dL(p)/dp = x p^(x-1) (1-p)^(10-x) - (10-x) p^x (1-p)^(x-1)

在p=0.5時，導數等於0，因為x=5，所以x-1=4，10-x=5，所以兩個項都等於0。因此，在p=0.5時，導數為0，這意味著在p=0.5時，L(p)取得最大值。

所以，根據最大似然估計法，我們估計硬幣出現正面的機率p為0.5。

這個例子是一個簡單的最大似然估計套用的例子。在實際套用中，最大似然估計可能會更複雜，但基本思想是相同的：找到使觀察到的數據出現的機率最大的參數值。