最尤推定正規分佈

在統計學中，最尤推定（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一種用來估計參數的方法，它通過尋找能夠最大化模型機率分布的參數值來估計未知參數。對於常態分配（也稱為高斯分布），這是一種廣泛使用的估計方法。

常態分配的密度函式為：

$$ f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$

其中，$\mu$是均值，$\sigma$是標準差，$x$是隨機變數。

為了使用最大似然估計來估計常態分配的參數，我們需要考慮模型的似然函式，即在給定參數值的情況下，觀察到數據的可能性。對於一組獨立同分布的數據點$x_1, x_2, \dots, x_n$，其似然函式為：

$$ L(\mu, \sigma^2 \mid x_1, x_2, \dots, xn) = \prod{i=1}^n f(x_i; \mu, \sigma^2) $$

為了找到最大似然估計，我們需要找到使得似然函式最大的參數值。這通常通過求解似然函式對參數的偏導數等於零的方程組來實現。

對於常態分配，我們可以通過以下步驟進行最大似然估計：

1. 寫出似然函式。
2. 求解似然函式對均值和標準差的偏導數，並令其等於零。
3. 解得的參數值就是最大似然估計。

在實際套用中，通常使用數值方法（如梯度上升法或牛頓法）來找到最大似然估計，因為對於複雜的模型，很難直接解出解析解。

需要注意的是，最大似然估計只是參數估計的一種方法，還有其他方法如最小二乘法、貝葉斯估計等。選擇哪種方法取決於具體的問題和數據。