最尤推定指數分布

最尤推定（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一種統計方法，用於估計參數的最大似然估計值。對於指數分布，我們可以通過最大似然估計來找到分布的參數。

指數分布的密度函式為：

f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0

其中，\lambda > 0是分布的率參數。

為了找到\lambda的最大似然估計，我們需要首先寫出似然函式。給定n個獨立同分布的觀察值x1, x2, ..., xn，這些值來自指數分布，那麼似然函式為：

L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(xi; \lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum{i=1}^{n} x_i}

為了找到最大值，我們通常需要對\lambda求導，並設定導數為零。但是，對於指數分布，我們可以使用一個簡單的技巧來避免求導。

注意到，對於指數分布，平均值（期望）等於\frac{1}{\lambda}。如果我們有n個獨立的觀察值，它們的總和為S，那麼我們可以使用樣本平均值作為\lambda的估計值：

\hat{\lambda} = \frac{1}{S}

其中，S = \sum_{i=1}^{n} x_i。這個估計值是樣本平均值的倒數。

因此，最尤推定估計值\hat{\lambda}是樣本總和S的倒數。這就是指數分布的MLE估計。