最小角定理證明

最小角定理（Minimum Angle Theorem）是線性代數中的一個基本結果，它描述了兩個向量之間的角度關係。最小角定理指出，如果向量 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 是非零向量，並且 (\mathbf{c}) 是它們的線性組合，那麼 (\mathbf{a}) 和 \(\mathbf{c}) 之間的角度，或者 (\mathbf{b}) 和 (\mathbf{c}) 之間的角度至少有一個是 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 之間角度的餘弦值。

證明如下：

首先，我們設 (\theta) 是 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{b}) 之間的角度，即 (\theta = \arccos \left(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}\right))。

考慮向量 (\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b})，其中 (\alpha) 和 (\beta) 是實數。我們要證明的是 (\mathbf{a}) 和 (\mathbf{c}) 之間的角度 (\theta{ac}) 或者 (\mathbf{b}) 和 (\mathbf{c}) 之間的角度 (\theta{bc}) 至少有一個不超過 (\theta)。

我們先考慮 (\theta{ac})。因為 (\mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b})，所以 (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = \alpha |\mathbf{a}|^2 + \beta \mathbf{a} \cdot \mathbf{b})。因此， [ \cos \theta{ac} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{c}|} = \frac{\alpha |\mathbf{a}|^2 + \beta \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \left(|\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}|\right)}. ]

因為 (\alpha) 和 (\beta) 是非零向量，所以 (|\mathbf{c}| = |\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}|)。因此， [ \cos \theta_{ac} = \frac{\alpha |\mathbf{a}| + \beta \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}}{|\mathbf{a}|} = \alpha \frac{|\mathbf{a}|}{|\mathbf{b}|} + \beta \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}| |\mathbf{a}|}. ]

因為 (\alpha) 和 (\beta) 可以取任何值，所以 (\cos \theta{ac}) 可以取任何值。但是，因為 (\theta{ac}) 是角度，所以 (\cos \theta{ac}) 的範圍是 ([-1, 1])。因此，(\theta{ac}) 的範圍是 ([0, \pi])。

類似地，我們可以證明 (\theta{bc}) 的範圍也是 ([0, \pi])。因此，至少有一個角度 (\theta{ac}) 或者 (\theta_{bc}) 不超過 (\theta)。這就是最小角定理的證明。