最小角定理公式

最小角定理（Minimum Angle Theorem）是線性代數中的一個重要定理，它描述了向量組之間的關係。最小角定理指出，對於兩個向量組，它們之間的夾角最小的向量對，是由這些向量組張成的空間的基。

最小角定理的公式通常不是以一個具體的數學表達式給出的，而是以以下形式陳述的：

如果向量組 {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m} 和 {\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_n} 張成一個維度為 d 的子空間，那麼存在一個基 {\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_d} ，使得對於每個 i 和 j，都有

\cos(\theta{ij}) = \max{\cos(\theta{ij}') : 1 \leq i' \leq m, 1 \leq j' \leq n},

其中 \theta_{ij} 是 \mathbf{v}_i 和 \mathbf{w}j 的夾角，\theta{ij}' 是 \mathbf{v}{i'} 和 \mathbf{w}{j'} 的夾角。

這個定理表明，通過 Gram-Schmidt 正交化過程或 QR 分解，可以從給定的向量組中找到一組正交基，這些基向量與原始向量組中的向量之間的夾角是最小的。最小角定理在信號處理、圖像處理、模式識別等領域都有套用。