最小自然數原理

最小自然數原理（Principle of Induction，或稱完全歸納法）是數學中的一個基本原理，用來證明某些關於自然數的命題。這個原理允許我們根據某個命題在特定範圍內的真實性，推導出它在所有自然數上都為真。

最小自然數原理的表述如下：

如果對於某個自然數k，當且僅當對於所有小於k的自然數n，命題P(n)為真時，命題P(k)也為真，那麼對於所有自然數n，命題P(n)都為真。

這個原理是數學歸納法的一種表述，它允許我們從有限步驟的證明中得出對無窮集合的結論。例如，我們可以使用最小自然數原理來證明以下命題：

對於所有自然數n，n^2 ≥ n。

證明：

1. 當n = 1時，1^2 = 1 ≥ 1成立。
2. 假設當n = k時，k^2 ≥ k成立。
3. 那麼當n = k + 1時，(k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 ≥ k + k + 1 = 2k + 1 ≥ k + 1，因為k^2 ≥ k（根據假設），所以2k ≥ k。
4. 因此，對於所有自然數n，n^2 ≥ n都成立。

這個證明使用了最小自然數原理，因為它依賴於對於所有小於n的自然數，命題P(n)為真（即n^2 ≥ n）時，命題P(n)（即(n + 1)^2 ≥ n + 1）也為真。