最小最大化公式

最小最大化公式（Minimax Formula）是一種用於解決零和遊戲的數學策略，其中遊戲的參與者要麼是最大化他們的收益，要麼是最小化他們的損失。零和遊戲是指遊戲的總收益為零，即一方所得正是另一方所失。最小最大化公式是由約翰·馮·諾依曼在20世紀40年代提出的，用於解決這些類型的遊戲決策問題。

最小最大化公式的基本思想是，每個玩家都會考慮對手可能的最佳行動，並選擇能夠最大化自己收益或最小化自己損失的策略。這個過程可以通過遞歸的方式進行，從遊戲的最後一步開始，回推到遊戲的開始。

假設我們有一個簡單的零和遊戲，有兩個玩家，A和B，他們輪流移動。遊戲有三種可能的結局：A贏，B贏，或者平局。我們可以用一個矩陣來表示這些結果，其中每一行代表玩家A的行動，每一列代表玩家B的行動。

          B行動
         A贏   B贏   平局
A行動
A1      x     y     z
A2      w     x     y
A3      z     w     x

在這個矩陣中，每個元素表示如果A選擇相應的行動，B也選擇相應的行動時，A的收益。例如，如果A選擇A1行動，B選擇B贏的行動，那麼A的收益是x。

最小最大化公式的步驟如下：

1. 確定遊戲的最終狀態，即所有可能的結局。
2. 為每個玩家評估每個可能結局的收益。
3. 從遊戲的最後一步開始，回推到遊戲的開始，為每個玩家選擇最佳行動。
4. 使用動態規劃的方法，存儲之前計算過的最佳行動，避免重複計算。

通過這個過程，玩家可以找到一個策略，確保無論對手如何行動，自己的收益都是最大化的（或者損失是最小的）。

在實際套用中，最小最大化公式可能需要通過電腦程式來實現，特別是在遊戲狀態和可能的行動數量非常多的情況下。它是一種非常重要的決策制定工具，不僅在遊戲理論中，而且在人工智慧、經濟學、政治學等領域都有廣泛的套用。