最小平方逼近

最小平方逼近是一種數學最佳化方法，用於尋找最佳的參數值，使得模型的預測值與實際觀測值之間的誤差平方和最小。這種方法通常用於線性回歸和信號處理等領域。

最小平方逼近的目標函式是誤差的平方和，通常表示為：

[ J(\theta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 ]

其中，( y_i )是實際觀測值，( \hat{y}_i )是模型的預測值，( \theta )是模型的參數，( n )是數據點的數量。

最小化這個目標函式可以通過求解一元二次方程或使用梯度下降等最佳化算法來實現。最小平方逼近的解通常可以通過求解以下方程組來得到：

[ (\mathbf{X}^T\mathbf{X})\theta = \mathbf{X}^T\mathbf{y} ]

其中，( \mathbf{X} )是數據矩陣，( \mathbf{y} )是觀測值向量，( \theta )是參數向量。

最小平方逼近的優點是它對異常值有較好的魯棒性，並且可以很容易地擴展到多元情況。然而，最小平方逼近也有一些缺點，比如它假設誤差是常態分配的，並且它可能會過度擬合數據。