最小平方解

最小平方解（Minimum Squares Solution）是一種數學方法，用於尋找線性方程組的最小二乘解。當一個線性方程組存在無數多個解或者沒有精確解時，最小平方解提供了一種尋找「最佳」近似解的方法。

假設我們有一個線性方程組，如下所示：

[ \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a_{mn} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \ \end{bmatrix} ]

其中，( a_{ij} ) 是係數矩陣的元素，( x_i ) 是未知數，( b_j ) 是右端項。如果這個方程組沒有精確解，我們可以通過最小化所有方程的殘差平方和來找到一個最佳的近似解。殘差平方和的表達式為：

[ \sum_{j=1}^{m} (bj - \sum{i=1}^{n} a_{ji} x_i)^2 ]

最小平方解的目標就是找到一組 ( x_i ) 使得上述表達式的值最小。這個問題可以通過將方程組轉換為正規方程組來求解，正規方程組的矩陣形式為：

[ (A^T A) x = A^T b ]

其中，( A^T ) 是係數矩陣 ( A ) 的轉置，( A^T A ) 被稱為正則化矩陣。通過解這個方程組，我們可以得到最小平方解 ( x )。

最小平方解在統計學、信號處理、控制系統、圖像處理等領域有著廣泛的套用，特別是在處理存在噪聲和誤差的數據時，最小平方解提供了一種穩健的方法來估計參數和進行預測。