最小平方法偏微分

最小平方法（Least Squares Method）是一種數學最佳化技術，用於尋找數據的最佳擬合直線（對於一維數據）或最佳擬合平面（對於二維數據）。在統計學中，最小平方法通常用於線性回歸分析。最小平方法的目標是找到一條直線或一個平面，使得所有數據點到這條直線或平面的距離平方和最小。

最小平方法可以通過求解一組線性方程組來找到最佳擬合直線或平面，這些方程組可以通過偏微分來構建。假設我們有一組數據點{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我們想要找到一條直線y = mx + b，使得∑(yi - mxi - b)²最小。

我們可以通過偏微分來找到最佳的m和b。首先，我們將y = mx + b代入距離平方和的表達式中：

SSE = ∑(yi - mxi - b)²

為了找到最小值，我們對m和b分別求偏微分，並令偏微分等於零：

∂SSE/∂m = ∑(2(yi - mxi - b)(-xi)) = 0 ∂SSE/∂b = ∑(2(yi - mxi - b)(-1)) = 0

解這兩個方程，我們就可以找到最佳的m和b。這個過程被稱為正規方程組（Normal Equations），它是通過矩陣運算來實現的。

對於二維數據，我們想要找到一個最佳擬合平面，我們可以使用類似的方法。假設我們有一組數據點{(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ..., (xn, yn, zn)}，我們想要找到一個平面z = Ax + By + C，使得∑(zi - Axi - Byi - C)²最小。

我們可以通過偏微分來找到最佳的A、B和C。首先，我們將z = Ax + By + C代入距離平方和的表達式中：

SSE = ∑(zi - Axi - Byi - C)²

然後我們對A、B和C分別求偏微分，並令偏微分等於零：

∂SSE/∂A = ∑(2(zi - Axi - Byi - C)(xi)) = 0 ∂SSE/∂B = ∑(2(zi - Axi - Byi - C)(yi)) = 0 ∂SSE/∂C = ∑(2(zi - Axi - Byi - C)) = 0

解這三個方程，我們就可以找到最佳的A、B和C。這個過程同樣可以通過矩陣運算來實現。

最小平方法偏微分的過程就是通過求解偏微分方程來找到最佳的參數，這些參數可以用來表示數據的最佳擬合直線或平面。