最小平方回歸直線

最小平方回歸直線（Minimum Squared Regression Line）是一種用來擬合數據點的線性模型，其目標是使得這些數據點到直線的距離平方和最小化。這種方法通常用於統計學和數據分析中，用來找出數據之間的關係。

給定一系列數據點 $(x_i, y_i)$，其中 $i = 1, 2, ..., n$，最小平方回歸直線的方程可以表示為：

$$ y = \hat{y} = \beta_0 + \beta_1 x $$

其中 $\beta_0$ 是直線在 $y$ 軸上的截距，$\beta_1$ 是直線的斜率。

為了找到最小平方回歸直線，我們需要最小化所有數據點到直線的距離平方和。這可以通過求解以下方程組來實現：

$$ \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}i)^2 = \sum{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2 $$

這個方程組可以轉化為一個線性方程組，通過使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）來解。OLS 方法可以提供一個數學框架來解決這個問題，並找到最佳的 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 值，使得距離平方和最小化。

在計算機科學和數學中，有許多算法可以用來解決這個問題，例如梯度下降法、奇異值分解（SVD）等。這些算法可以幫助我們找到最小平方回歸直線，並用來預測新的數據點的值。