最小多項式既約

最小多項式（minimal polynomial）和既約（irreducible）是數論和代數中兩個相關但不同的概念。

最小多項式是指一個數字在一個代數體系（如複數域、有限域等）中，其作為一個變量的一個多項式，使得這個多項式在這個代數體系中沒有除常數倍以外的因式。換句話說，它是關於該數字在這個代數體系中的「最簡單」的多項式表示。

例如，在複數域上，最小多項式為 ( x^2 + 1 ) 的根是 ( i ) 和 ( -i )，因為任何包含 ( i ) 的複數的多項式都可以通過因式分解來還原為 ( (x - i)(x + i) ) 的形式，這兩次因式分解都不會進一步簡化。

另一方面，一個多項式是既約的，如果它不能被一個非單項的多項式整除。換句話說，一個既約多項式是無法通過因式分解來進一步簡化的。

最小多項式和既約之間的關係是，最小多項式總是既約的。這是因為如果一個多項式不是既約的，那麼它總是可以被一個次較小的多項式整除，這意味著它不是它所定義的數字的「最小」多項式表示。

然而，一個既約多項式不一定是某個數字的最小多項式。例如，在複數域上，多項式 ( x^3 + 1 ) 是既約的，因為它不能被一個次較小的多項式整除，但是它不是任何複數的最小多項式，因為它沒有實根或純虛數根。