最小多項式対角化

最小多項式（Minimal Polynomial）是一個線性變換的代數特徵，它是一個次數最低的不可約多項式，可以用來表示這個線性變換。一個線性變換可以通過它的最小多項式進行對角化，如果滿足以下條件：

1. 線性變換的矩陣表示是冪等矩陣（Idempotent Matrix），即矩陣的平方等於它自己。
2. 線性變換的矩陣表示的特徵值都是單值的，即每個特徵值對應的特徵向量空間都是一維的。

當一個線性變換滿足上述條件時，它的最小多項式可以用來將它的矩陣表示對角化。具體來說，如果一個線性變換的最小多項式是 ( m(x) )，並且它的所有特徵值都是單值的，那麼存在一個矩陣 ( P )，使得：

[ P^{-1} A P = D ]

其中 ( A ) 是線性變換的矩陣表示，( D ) 是 diagonal matrix，其對角線上的元素是 ( A ) 的特徵值，( P ) 是特徵向量的組合矩陣。

這個過程被稱為通過最小多項式對角化線性變換。需要注意的是，並不是所有的線性變換都可以通過這種方式對角化，只有當它們的最小多項式是單值特徵值的冪等矩陣時，這種對角化才是可能的。