最小均方差濾波器

最小均方差濾波器（Minimum Mean Squared Error, MMSE）是一種用於信號處理的濾波器，其目標是減少輸入信號中的噪聲，同時盡可能保持原始信號的特徵。MMSE濾波器通過最小化輸出信號的均方差（Mean Squared Error, MSE）來實現這一目標。

在線性信號處理中，MMSE濾波器可以表示為一個線性濾波器，其係數由信號和噪聲的統計特性決定。假設我們有一個輸入信號x(n)，其中包含我們感興趣的信號s(n)和加性白高斯噪聲（Additive White Gaussian Noise, AWGN）n(n)，那麼輸入信號可以表示為：

x(n) = s(n) + n(n)

我們希望從輸入信號x(n)中估計出原始信號s(n)。MMSE估計可以表示為：

\hat{s}(n) = w^T * x(n)

其中，w是濾波器係數向量，^T表示轉置運算。

為了找到最佳的濾波器係數w，我們需要最小化估計誤差的均方差，即：

E[|s(n) - \hat{s}(n)|^2] = E[|s(n) - w^T * x(n)|^2]

這裡，E表示期望運算。根據信號和噪聲的統計特性，可以將上式展開並進行簡化，得到一個關於w的線性方程組。通過解這個方程組，可以得到最小均方差估計的濾波器係數。

在實際應用中，MMSE濾波器可以用於語音識別、圖像處理、通信系統中的信號解調等領域。它是一種有效的信號處理方法，可以提高信號的信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），從而增強信號的可辨識性。