最小均方估計

最小均方估計（Minimum Mean Squared Error, MMSE）是一種估計理論，用於在有雜訊的信號中估計出原始信號。在信號處理、通訊和統計學中，這個概念非常重要。MMSE估計的目標是找到一個估計量，使得均方誤差（MSE）最小化。均方誤差是估計值和真實值之間的平方誤差的平均值。

假設我們有一個信號x，它受到加性高斯白雜訊n的影響，得到觀察值y：

y = x + n

其中x是我們想要估計的信號，n是均值為0、方差為σ^2的高斯白雜訊。

最小均方估計量是通過最小化均方誤差來找到的：

E[(x - \hat{x})^2]

其中\hat{x}是我們的估計量，E[]表示對所有可能的x和n取期望值。

為了找到MMSE估計量，我們可以使用以下公式：

\hat{x}{MMSE} = E[x|y] = \int{-\infty}^{\infty} x p(x|y) dx

其中p(x|y)是條件機率密度函數，給定觀察值y的信號x的後驗機率。

在許多情況下，直接計算MMSE估計量是困難的，因此通常會使用近似方法或尋找線性MMSE估計量，即估計量是信號的一個線性函數：

\hat{x}_{LMMSE} = A y

其中A是通過MMSE條件得到的係數。

線性MMSE估計量的係數A可以通過信號x和觀察值y的相關性來計算：

A = \frac{E[xy]}{E[y^2]}

線性MMSE估計量僅當信號x和觀察值y之間的關係是線性的時候才有效。如果關係是非線性的，則需要使用更複雜的方法來找到MMSE估計量。