最小元

在數學中，特別是集合論和邏輯學中，最小元（或最小元素）是一個集合中的元素，它小於集合中的所有其他元素。這個概念在偏序集和全序集中都有定義。

在偏序集 $(P, \leq)$ 中，一個元素 $a \in P$ 是最小元，如果對於集合中的所有元素 $b \in P$，都有 $a \leq b$。也就是說，$a$ 是最小的元素，因為它不小於集合中的任何其他元素。

在完全有序集 $(S, <)$ 中，一個元素 $a \in S$ 是最小元，如果對於集合中的所有元素 $b \in S$，都有 $a \leq b$。也就是說，$a$ 是集合中最小的元素。

最小元不一定是唯一的。例如，考慮集合 ${1, 2, 3}$ 和小於關係 $\leq$，這個集合沒有最小元，因為沒有任何一個元素小於集合中的所有其他元素。但是，在整數集合 $\mathbb{Z}$ 中，最小元是 $-\infty$，因為對於任何整數 $x \in \mathbb{Z}$，都有 $-\infty < x$。

在實踐中，最小元的概念通常用於算法和數據結構中，例如在排序算法中找到最小元素，或者在堆疊和佇列等數據結構中維護最小元素。