最小元極小元

在數學中，特別是在組合數學和圖論中，「最小元」和「極小元」是兩個相關但不完全相同的概念。

1. 最小元（Minimum Element）：在一個集合中，一個元素被稱為最小元，如果它小於集合中的所有其他元素。在數學表示上，如果 A 是集合，那麼 A 的最小元通常表示為 min(A)。最小元只存在於部分有序集或部分預序集（例如，整數集是有序集，而集合的功率集通常不是有序集）。

2. 極小元（Minimal Element）：在一個集合中，一個元素被稱為極小元，如果它不小於集合中的任何其他元素，但不存在另一個元素小於它且不小於集合中的任何其他元素。在數學表示上，如果 A 是集合，那麼 A 的極小元通常表示為 ∃!x ∈ A : ∀ y ∈ A, y ≤ x。極小元可以存在於任何集合，而不僅僅是有序集。

簡單來說，最小元是指集合中值最小的元素，而極小元是指集合中不能被任何其他元素覆蓋的元素。在某些情況下，最小元和極小元可能是同一個元素，但在其他情況下，它們可能不同。例如，在整數集中，最小的極小元是 0，因為它小於所有其他整數，並且沒有其他整數小於 0。但是，在沒有最小值的集合中，極小元可能不存在，而最小元則可能存在。