最小值公式的應用

最小值公式通常用於求解函數的最小值。在數學中，最小值公式通常指的是二次函數的最小值公式，這是由於二次函數具有特定的形狀，使得我們可以通過公式直接計算出它的最小值。

二次函數的最小值公式是：

最小值 = -b / 2a

其中，a、b和c是二次函數的一般形式 ax^2 + bx + c 的係數，且 a ≠ 0。

這個公式的來源是將二次函數配方成頂點式，即 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 (h, k) 是函數的頂點。二次函數的頂點是其最小值或最大值的點。

配方後，二次函數的最小值就是頂點的y值，即 k。根據二次函數的一般形式，我們可以通過以下步驟來找到頂點的x值（即 h）：

1. 設 f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 找到方程 ax^2 + bx + c = 0 的兩根。
3. 根據二次方程的根與係數關係，有：
   • 兩根之和 = -b / a
   • 兩根之積 = c / a
4. 設兩個根為 x1 和 x2，則 x1 + x2 = -b / a，x1 * x2 = c / a。
5. 因為二次函數的頂點坐標為 (h, k)，其中 h = (x1 + x2) / 2，所以 h = -b / (2a)。
6. 將 h 的值代入頂點式，得到配方後的二次函數： f(x) = a(x - h)^2 + k = a(x + (b / (2a)))^2 + k。
7. 最小值或最大值就是頂點的y值，即 k = f(h)。

因此，二次函數的最小值公式就是 k = f(h) = a(h)^2 + bh + c = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c = (-b)^2 / (4a) - b^2 / (2a) + c = b^2 / (4a) - b^2 / (2a) + c = -b^2 / (4a) + c - b^2 / (2a) = -b^2 / (4a) + c - b^2 / (2a) + b^2 / (4a) = c - b^2 / (4a)。

這個公式告訴我們，二次函數的最小值（或最大值，取決於 a 的正負號）是 c - b^2 / (4a)。如果 a > 0，則函數有最小值；如果 a < 0，則函數有最大值。

請注意，這個公式只適用於二次函數。對於更高次或更複雜的函數，通常需要使用其他方法（如導數、微分或圖形方法）來求解最小值。