最小二乘法原理

最小二乘法是一種數學最佳化技術，用於解決線性方程組的問題。它的基本思想是：當給定一組數據點和一條擬合這些數據的直線（或曲線）時，最小二乘法可以找到這條直線（或曲線），使得所有數據點到這條直線（或曲線）的距離和最小。這個距離和就是這些數據點到直線（或曲線）的「誤差」。

最小二乘法的原理可以這樣理解：對於給定的數據點，我們可以通過計算它們到直線（或曲線）的距離來評估這條直線（或曲線）的擬合效果。如果我們將這些距離平方，那麼每個距離的值將不會受到其他距離值的影響，這樣我們就可以將它們獨立地加起來。最小二乘法就是找到這樣一條直線（或曲線），使得所有數據點到這條直線（或曲線）的距離平方和最小。

最小二乘法的數學表達式如下：

設我們有 $n$ 個數據點 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$，我們想要找到一條直線 $y = mx + c$（其中 $m$ 是斜率，$c$ 是截距）來擬合這些數據點。最小二乘法的目標是找到最佳的 $m$ 和 $c$，使得以下誤差函式最小：

$$ E(m, c) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - mx_i - c)^2 $$

為了找到最小值，我們可以對 $m$ 和 $c$ 分別求偏導數，並令它們等於零。這樣就可以解出 $m$ 和 $c$ 的值。

最小二乘法在統計學、信號處理、控制理論、金融學等領域有著廣泛的套用。它不僅適用於線性模型，還可以擴展到非線性模型，如多項式回歸、邏輯回歸等。