最小二乘擬合直線

最小二乘法（Least Squares Method）是用來尋找一組數據的最佳擬合直線的方法。最佳擬合直線是指使得所有數據點到直線的距離和最小的一條直線。這個方法不僅可以用於直線擬合，還可以用於多維數據的曲線擬合。

最小二乘法的基本思想是：設數據點為，我們想要找到一條直線，使得所有數據點到直線的距離和最小。假設直線的方程為，其中和是我們要尋找的參數。最小二乘法的目標是找到這些參數，使得誤差平方和最小，即：

其中是誤差項，表示第個數據點到直線的距離。

為了找到最佳的直線，我們需要最小化誤差平方和。這通常通過求解一組方程來實現。對於直線擬合，我們通常使用以下形式的直線方程：

其中是直線的斜率，是直線在y軸上的截距。

將直線方程代入誤差平方和的表達式中，我們得到：

為了最小化這個誤差平方和，我們可以對和分別求偏導數，並設置結果為零。這樣我們就可以解出和。

在實際應用中，最小二乘法通常使用計算機算法來求解。在數學軟件和統計軟件中，都有現成的函數可以用來進行最小二乘擬合。例如，在Python的科學計算庫NumPy和統計學庫SciPy中，就有相關的函數可以輕鬆地實現最小二乘法直線擬合。