最小二乘投影

最小二乘投影（Least Squares Projection）是一種數學最佳化技術，用於將一個向量或一組向量投影到一個低維空間中，同時最小化投影向量與原始向量之間的距離。這種技術在統計學、信號處理、機器學習和工程領域有著廣泛的套用。

最小二乘投影的基本思想是找到一個向量或一組向量，使得這些向量與一個低維子空間的距離平方和最小化。這個子空間通常是由一個正交投影矩陣來定義的，這個矩陣將高維空間中的向量投影到低維空間中。

最小二乘投影的問題可以表述為以下形式：

給定一個向量集合 {x_1, x_2, ..., x_n} \in \mathbb{R}^p 和一個正交投影矩陣 P \in \mathbb{R}^{p \times q}，其中 q < p，我們希望找到一個向量集合 {y_1, y_2, ..., y_n} \in \mathbb{R}^q，使得

\sum_{i=1}^n |x_i - Py_i|^2 \rightarrow \min

這裡的 | \cdot | 表示向量的歐幾里得範數。

最小二乘投影的解可以通過求解一個線性方程組來得到，這個方程組可以通過將正交投影矩陣 P 分解為 QR 分解、SVD 分解或者其他合適的分解來構造。一旦得到了解，就可以將原始的高維向量投影到低維空間中，同時最小化投影誤差。

最小二乘投影的一個常見套用是在降維中，例如主成分分析（PCA）和線性判別分析（LDA）。在這些方法中，最小二乘投影被用來找到數據的最優低維表示，從而簡化數據處理和分析的複雜度。