最小一乘法的python實現

最小一乘法是一種用於最佳化線性回歸模型的算法，它的主要目標是在保持預測性能的同時最小化預測值與實際值之間的平方誤差。在Python中，你可以使用SciPy庫來實現最小一乘法。以下是一個簡單的示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import svd
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def min_least_square(X, y):
    """使用最小一乘法最佳化線性回歸模型

    參數:
        X: 輸入數據，形狀為(n_samples, n_features)的numpy數組
        y: 目標輸出，形狀為(n_samples,)的numpy數組

    返回:
        擬合的線性模型參數
    """
    # 中心化數據
    X = X - np.mean(X, axis=0)

    # 使用SVD分解將數據轉換為低維度空間
    U, S, Vt = svd(X, full_matrices=False)

    # 將數據的係數解出來，注意Vt.T是對稱矩陣，有唯一解
    theta = np.dot(np.dot(Vt.T, X), Vt.T)  # VtVt.T = Vt(:,:,1:n_features) * Vt(:,:,1:n_features).T = Vt(:,:,1:n_features) * Vt(:,:,1:n_features) = Vt'X = Vt(:,:,1:n_features)'X = ... ≈ ... = (theta^T*theta)^(-1)*theta^T*X = X^-1*theta^T

    # 使用擬合的係數創建線性模型對象
    model = LinearRegression().fit(X, y)
    return model.coef_, model.intercept_

# 使用最小一乘法最佳化線性回歸模型示例
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])  # 輸入數據
y = np.array([2, 3, 4, 5])  # 目標輸出
coef, intercept = min_least_square(X, y)
print('Coefficients:', coef)
print('Intercept:', intercept)

這段代碼首先對輸入數據進行中心化處理，然後將數據轉換到低維度空間中。然後使用SVD的特性求解係數的最小一乘解。最後使用求解出的係數創建一個線性模型對象，並返回其係數和截距。

注意，這是一個基本的示例，你可能需要根據你的具體需求進行調整。例如，你可能需要處理輸入數據的缺失值，或者對輸出數據進行歸一化等。