最大流二分圖

最大流問題是圖論中的一個經典問題，其中一個重要的概念是二分圖（bipartite graph）。二分圖是一種特殊的圖，它的頂點可以分為兩個不相交的集合 V 和 W，其中每個邊都連接著一個 V 中的頂點和一個 W 中的頂點。

在最大流問題中，二分圖的應用通常是在解決帶有邊權的圖的流問題時，將圖轉換為一個二分圖，從而可以使用最大流算法來解決。這種方法通常稱為最大流對偶（max-flow min-cut duality）。

具體來說，給定一個帶有邊權的圖 G，我們可以將 G 轉換為一個二分圖 G'，其中 V 中的頂點表示圖 G 的源點和匯點，W 中的頂點表示圖 G 的其他頂點，而邊權則表示從 V 中的頂點到 W 中的頂點的流量。然後，我們可以使用最大流算法來找到 G' 中的最大流，這相當於找到 G 中的最小割（minimum cut）。

這種方法在實際應用中非常有效，因為它允許我們使用高效的算法來解決帶有邊權的圖的流問題。例如，對於一個帶有邊權的圖 G，我們可以使用 Ford-Fulkerson 算法來找到 G' 中的最大流，這是一個可以在 O(VE) 時間內解決的問題，其中 V 是頂點數，E 是邊數。