最大子矩形

最大子矩形問題是一個經典的動態規劃問題，它出現在許多不同的領域，包括算法、計算機編程和運籌學。這個問題通常表述為：給定一個數組，找到其中元素的最大子矩形，即找到數組中連續的一段元素，使得它們構成一個矩形，並且其面積最大。

這個問題可以通過動態規劃來解決。我們可以定義一個二維數組，其中每一對索引(i, j)表示從第i行到第n行，從第j列到第m列的子矩形面積的最大值。我們可以通過以下動態規劃方程來計算這個值：

max_area[i][j] = max(max_area[i-1][j], max_area[i][j-1], 0) + A[i][j]

其中，max_area[i][j]表示從第i行到第n行，從第j列到第m列的子矩形面積的最大值，A[i][j]表示數組中第i行第j列的元素值。

我們可以通過以下偽代碼來實現這個算法：

function maxSubmatrix(A, n, m):
    max_area[n][m] = 0
    for i from 1 to n:
        for j from 1 to m:
            max_area[i][j] = max(max_area[i-1][j], max_area[i][j-1], 0) + A[i][j]
    return max_area[n][m]

這個算法的時間複雜度和空間複雜度都是O(n*m)，其中n是數組中行的數量，m是數組中列的數量。