最大子序列的和

最大子序列和問題是一個經典的動態規劃問題。給定一個整數序列，我們要找到該序列的一個子序列，使得它的和最大。這裡的子序列是指通過刪除一些（可能不刪除）原始序列中的元素得到的序列，刪除的元素之間不能有間隙（即刪除的元素必須是連續的）。

例如，對於序列[10, 5, -3, 2, -1]，它的一個最大子序列和是10 + 5 + 2 = 17，這個子序列是[10, 5, 2]。

動態規劃算法通過定義以下狀態來解決問題：

• f[i] 表示以 a[i] 結尾的最大子序列和。

狀態轉移方程為：

• 如果 a[i] > 0 或者 a[i] 是負數但 f[i-1] <= 0，則 f[i] = f[i-1] + a[i]。
• 如果 a[i] < 0 且 f[i-1] > 0，則 f[i] = a[i]。

初始狀態為 f[0] = a[0]。

偽代碼如下：

function maxSubsequenceSum(a):
    n = length(a)
    f = new array of size n
    f[0] = a[0]
    for i from 1 to n-1:
        if a[i] > 0 or (a[i] < 0 and f[i-1] <= 0):
            f[i] = f[i-1] + a[i]
        else:
            f[i] = a[i]
    return f[n-1]

時間複雜度為 O(n)，空間複雜度為 O(n)，其中 n 是序列的長度。

注意，如果序列中存在負數，則最大子序列和可能小於序列中所有元素的和。如果所有元素都是非負的，則最大子序列和等於整個序列的和。