最大堆積樹

最大堆積樹（Max Heap Tree）是一種特殊的二叉樹，它同時滿足堆積（Heap）的條件和樹的結構。最大堆積樹有兩種類型：最大堆（Max-Heap）和最小堆（Min-Heap）。這裡我們討論的是最大堆。

最大堆的定義如下：

樹中的每一個節點的值都不小於其左子樹和右子樹中的任何節點的值。
樹的結構滿足完全二叉樹的條件，即除了最底層之外，每一層的節點都是完全填滿的。

最大堆可以視為一個數組的優化存儲方式，使得我們可以通過樹的結構快速插入和刪除最大值。最大堆通常用於實現優先佇列（Priority Queue），其中最大堆作為最小優先佇列，因為我們可以快速找到並移除最大值。

最大堆的操作主要包括：

建堆（Heapify）：將一個未排序的數組轉換為最大堆。
插入（Insert）：將一個新元素插入到最大堆中，並保持堆的結構不變。
刪除最大值（Extract-Max）：移除最大堆中的最大值，並調整堆結構，使得剩下的元素仍然構成一個最大堆。
調整堆（Heap Adjust）：在堆中移除一個元素並替換為一個新元素後，調整堆結構，使得新元素適當定位，而堆仍然保持最大堆的特性。

最大堆可以用於許多應用程式中，例如：

圖的遍歷：在圖的遍歷中，可以將圖中的頂點按照其度數構建一個最大堆，然後從堆頂開始遍歷圖。
排序：通過多次刪除最大值並將其與數組的末尾元素交換，可以將數組中的元素排序。
頂點優先級：在圖算法中，可以用來表示頂點的優先級。

最大堆的時間複雜度取決於操作的類型：

建堆：O(n)，其中 n 是數組的大小。
插入：O(log n)，其中 n 是堆中元素的數量。
刪除最大值：O(log n)，其中 n 是堆中元素的數量。
調整堆：O(log n)，其中 n 是堆中元素的數量。

最大堆可以用遞歸或非遞歸的方式實現，並且可以通過陣列或鏈表來表示。最常見的實現方式是使用陣列，因為這樣可以方便地訪問節點的左子樹和右子樹。