最值定理百科

最值定理（Extreme Value Theorem）是分析學中的一個基本定理，它保證了連續函式在閉區間上的最值存在。這個定理通常表述如下：

最值定理： 如果函式f在閉區間[a, b]上連續，那麼在開區間(a, b)內至少存在一個點c，使得f(c) < f(x)對於所有a < x < b都成立（即f(c)是f在(a, b)上的最小值），並且在(a, b)內至少存在一個點d，使得f(d) > f(x)對於所有a < x < b都成立（即f(d)是f在(a, b)上的最大值）。

這個定理的證明通常使用的是連續函式的性質和極限的定義。由於閉區間[a, b]有界，我們可以找到序列{x_n}和{y_n}，使得f(x_n)越來越接近函式f在[a, b]上的最小值，f(y_n)越來越接近函式f在[a, b]上的最大值。通過連續函式的性質，我們可以保證這些序列的極限也滿足相應的最值條件。

最值定理是微積分中的一個重要定理，它在最佳化問題和實分析中都有廣泛的套用。例如，在經濟學中，最值定理可以用來證明消費者均衡和生產者均衡的存在性。在物理學中，最值定理可以用來確定物體的穩定平衡點和不穩定平衡點。