最上境公設

"最上境公設"（Axiom of Choice）是集合論中的一個公設，它用來解決在從某些集合中選擇子集時可能出現的不確定性。這個公設允許我們在面對一個並集含有非空子集的集合時，總是可以選擇出其中的一個子集。

最上境公設的正式表述如下：

給定任意一個集合類族 (\mathcal{A})，其中每個集合 (A \in \mathcal{A}) 都有非空子集 (B \subset A)，則存在一個選擇函數 (f)，它將 (\mathcal{A}) 映射到 (\bigcup_{A \in \mathcal{A}} B)，使得對於每個 (A \in \mathcal{A})，函數 (f) 選擇了 (A) 的一個子集 (B \subset A)。

這個公設在數學中非常有用，尤其是在拓撲學、泛函分析、代數幾何等領域。然而，它也引發了一些深刻的問題，例如它與其他集合論公設的相容性。例如，最上境公設與策梅洛-弗蘭克爾集合論（Zermelo-Fraenkel set theory, ZF）的某些變體是不相容的。在 ZF 集合論中不包含最上境公設的公設系統中，選擇函數的存在性不能被視為理所當然。

最上境公設的命名來自於它的提出者恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo），他在1904年提出這個公設來解決在選擇基數時可能出現的問題。這個公設在當時被認為是選擇公設（Axiom of Choice），但後來人們發現它可以用來證明許多其他公設，因此它也被稱為策梅洛選擇公設（Zermelo's Axiom of Choice）。