效用最大化題目

效用最大化問題是經濟學中的一個核心概念，它涉及到個體或市場如何做出選擇，以便在給定的預算和商品價格下獲得最大的滿足感或效用。在這裡，我將提供一個簡單的例子來解釋如何解決這樣一個問題。

假設一個消費者有100元的預算，可以用來購買兩種商品：蘋果和橘子。蘋果的價格是每公斤20元，橘子的價格是每公斤10元。這個消費者對蘋果和橘子的效用函數（即滿足感）分別如下：

U(A) = A^2 (蘋果的效用函數，其中A代表蘋果的數量) U(O) = O^2 (橘子的效用函數，其中O代表橘子的數量)

這裡，U(A)和U(O)分別表示消費者從蘋果和橘子中獲得的總效用。

為了找到效用最大化的點，我們需要找到一個平衡點，在這個點上，消費者從多購買一單位商品所獲得的邊際效用與該商品的價格之比相等，這就是邊際效用遞減法則的應用。

首先，我們需要計算邊際效用。邊際效用是指增加一單位商品所帶來的效用增加量。對於U(A) = A^2，邊際效用MA(A) = 2A，因為每次增加一單位蘋果，效用函數的值增加2倍的該單位的蘋果數量。對於U(O) = O^2，邊際效用MO(O) = 2O。

接下來，我們需要找到邊際效用與價格之比相等的點。這個比值被稱為邊際效用值（Marginal Utility Value, MUV）。對於蘋果，MUV(A) = MA(A)/P(A) = 2A/20 = A/10。對於橘子，MUV(O) = MO(O)/P(O) = 2O/10 = O/5。

現在，我們需要找到A和O的值，使得MUV(A) = MUV(O)。這意味著消費者從多購買一單位蘋果和多購買一單位橘子中獲得的滿足感應該是相等的。

A/10 = O/5 A = 2O

現在我們有了A和O之間的關係，我們可以將這個關係代入預算限制條件中。預算限制條件是消費者用於購買蘋果和橘子的總支出不能超過其預算。

20A + 10O = 100 20(2O) + 10O = 100 40O + 10O = 100 50O = 100 O = 100 / 50 O = 2

現在我們知道消費者應該購買2公斤橘子。根據A = 2O，消費者應該購買4公斤蘋果。

最後，我們可以驗證這個解是否滿足效用最大化條件。對於蘋果，邊際效用MA(4) = 2(4) = 8。對於橘子，邊際效用MO(2) = 2(2) = 4。因為MUV(A) = MUV(O)，所以消費者從多購買一單位蘋果和多購買一單位橘子中獲得的滿足感是相等的，這符合效用最大化的條件。

總結一下，消費者應該購買4公斤蘋果和2公斤橘子，以達到效用最大化。