微分求最小值

求函式的最小值通常涉及以下步驟：

1. 確定函式的定義域。
2. 找到函式的駐點（導數為零的點）和不可導點。
3. 檢查駐點和不可導點附近的導數符號以確定它們是極大值點、極小值點還是鞍點。
4. 在函式的定義域內，找到所有的極小值點。
5. 比較這些極小值點附近的函式值，以確定全局最小值。

對於連續函式，通常可以通過求導數和研究導數的零點來找到最小值。如果函式在某個點取得最小值，那麼該點的導數應該為零。因此，你可以通過求導數並找到導數為零的點來找到最小值。

例如，考慮函式 f(x) = x^2 - 2x + 1。

首先，求導數： f'(x) = 2x - 2

令導數為零，找到可能的極小值點： 2x - 2 = 0 x = 1

現在，檢查這個點附近的導數符號：

• 在 x < 1 時，f'(x) > 0，函式單調遞增。
• 在 x > 1 時，f'(x) < 0，函式單調遞減。

因此，當 x = 1 時，函式 f(x) 取得極小值。為了驗證這是否是全局最小值，我們可以檢查函式在定義域的其他端點或孤立點：

• 當 x 趨向於正無窮大時，f(x) 趨向於正無窮大。
• 當 x 趨向於負無窮大時，f(x) 趨向於正無窮大。

因此，函式 f(x) 在 x = 1 處確實取得全局最小值。

在實際套用中，你可能需要使用更複雜的數學工具，如微分方程、偏微分方程、最佳化理論等，來求解更複雜函式的最小值。