強最大値原理

強最大値原理（Strong Maximum Principle）是偏微分方程中的一個重要理論，它描述了二階橢圓型偏微分方程在有界區域上的解的一些性質。這個原理指出，如果一個二階橢圓型偏微分方程在一個有界區域內具有一個連續的解，並且解在邊界上具有某種特定的行為，那麼解在區域內必為最大值或最小值。

強最大値原理的正式陳述可能會因情況而異，但一個常見的形式是：

如果 u 是一個二階橢圓型偏微分方程的連續解，並且 u 在一個有界封閉區域 Ω 內滿足以下條件：

1. u 在 Ω 的邊界 ∂Ω 上為常數（或滿足某種邊界條件）。
2. u 在 Ω 內不超過一個常數 C（即 u(x) ≤ C 對於所有 x 在 Ω 內成立）。

那麼 u 在 Ω 內必須是常數，即 u(x) = C 對於所有 x 在 Ω 內成立。

強最大値原理有時也被稱為Hopf最大値原理，因為這個原理是由Eberhard Hopf在1948年提出的。這個原理在偏微分方程、數值分析、流體力學、熱傳導和許多其他領域都有應用。