廣義最小二乘

廣義最小二乘（Generalized Least Squares, GLS）是一種統計學方法，用於處理線性模型的誤差項。在傳統的最小二乘法（OLS）中，假設誤差項是相互獨立的，並且具有相同的方差。然而，在實際應用中，這種假設並不總是成立，例如，當數據受到自相關（autocorrelation）或異方差（heteroscedasticity）的影響時，OLS的估計量可能不是最佳的。

廣義最小二乘法通過考慮誤差項的相關結構來解決這一問題。具體來說，GLS通過對誤差項的相關性進行建模，從而計算出更準確的線性模型參數估計量。這種方法通常需要先驗信息來建模誤差項的相關性，這些信息可以通過先前的研究、專業知識或數據探索來獲得。

GLS的目標是最小化以下目標函數：

[ \sum_{i=1}^{n} w_i \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2 ]

其中，( w_i )是加權係數，用於考慮誤差項的相關性。這些加權係數可以通過對誤差項的相關結構進行建模來計算。

在應用GLS時，通常需要解決一個優化問題，以找到最佳的加權係數和線性模型參數估計量。這通常可以使用數值方法（如梯度下降法或牛頓法）來解決。

總結來說，廣義最小二乘法是一種更為靈活的線性模型估計方法，它允許我們考慮誤差項的相關結構，從而得到更準確的模型參數估計量。這種方法在許多領域都有應用，包括經濟學、財務分析和工程學等。