實數最小上界

實數的最小上界（Least Upper Bound, LUB）是指一個數線段上所有實數的上界中最小的那一個。在實數系中，任何非空且有上界的集合都有一個最小上界。這個性質是實數系的一個重要特性，稱為完備性。

例如，考慮實數集 {1, 2, 3, ...}，這個集合的上界有很多，例如 10、100、1000 等等，但是它們都不是最小的。實際上，這個集合的最小上界是正無窮大 ∞。

在數學中，最小上界的正式定義是這樣的：

給定一個非空集合 S ⊆ ℝ，如果存在一個實數 b 使得對於所有 s ∈ S，都有 s ≤ b，並且對於任何 a < b，都存在 s ∈ S 使得 s > a，那麼 b 就是 S 的最小上界。

在這個定義中，如果 S 有最小上界，那麼這個最小上界是唯一的，因為如果 b 和 c 都是 S 的最小上界，那麼根據定義，b ≤ c 和 c ≤ b，因此 b = c。

最小上界的這個概念在數學分析中非常重要，尤其是在連續性和恆等式證明中。例如，它可以用來證明實數的連續性定理，如 intermediate value theorem（中值定理）和 extreme value theorem（極值定理）。