完美矩形的最小階數為多少

完美矩形（perfect rectangle）是指一個矩形的面積是其周長的整數倍。換句話說，如果一個矩形的面積是a，周長是p，那麼當a是p的整數倍時，這個矩形就是完美的。

完美矩形的最小階數（order）是指最小的正整數n，使得矩形的面積是周長的n次方倍。例如，如果一個矩形的面積是周長的4次方（即，面積是周長的平方），那麼這個矩形的階數就是2。

要找到完美矩形的最小階數，我們可以考慮一個邊長為a和b的矩形，其中a <= b。這個矩形的周長是2(a + b)，面積是ab。要使矩形完美，我們需要找到滿足以下條件的a和b：

ab = n * (a + b)^2

將等式兩邊開方，我們得到：

√(ab) = n * (a + b)

因為a <= b，所以a + b >= 2a，因此：

√(ab) <= n * 2a

ab <= 4n^2 a^2

因為ab = ab，所以：

a^2 <= 4n^2 a^2

將兩邊除以a^2，我們得到：

1 <= 4n^2

n^2 >= 1 / 4

n^2 >= 0.25

n >= √0.25

n >= 0.5

因為n必須是一個正整數，所以最小值是n = 1。因此，完美矩形的最小階數是1。這意味著存在完美矩形，其面積是其周長的整數倍，而不需要是更高次方的倍數。