如何求解線性最小二乘問題

線性最小二乘問題的目標是找到一個線性模型，使其誤差平方和最小。在數學上，這可以表示為以下形式：

[ \min{\mathbf{w}, b} \sum{i=1}^{n} (\mathbf{w}^{\top}\mathbf{x}_i + b - y_i)^2 ]

其中，(\mathbf{w}) 是模型的權重向量，(b) 是偏置項，(\mathbf{x}_i) 是第 (i) 個數據點的特徵向量，(y_i) 是對應的標籤，(n) 是數據點的數量。

為了求解這個問題，可以使用以下方法：

1. 梯度下降法： 梯度下降法是一種常見的優化算法，可以用來最小化任何可微分函數。對於線性最小二乘問題，梯度下降法可以疊代更新權重 (\mathbf{w}) 和偏置 (b)，直到達到預定的停止條件（如達到某個精度或疊代次數上限）。

   [ \mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \alpha \nabla{\mathbf{w}} J(\mathbf{w}, b) ] [ b \leftarrow b - \alpha \nabla{b} J(\mathbf{w}, b) ]

   其中 (J(\mathbf{w}, b)) 是損失函數，(\alpha) 是學習率，(\nabla{\mathbf{w}} J(\mathbf{w}, b)) 和 (\nabla{b} J(\mathbf{w}, b)) 分別是損失函數對於 (\mathbf{w}) 和 (b) 的梯度。

2. 規範化方程： 對於線性最小二乘問題，可以通過規範化方程直接求解。規範化方程的解是 (\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}\mathbf{w} = \mathbf{X}^{\top}\mathbf{y})，其中 (\mathbf{X}) 是數據點的特徵矩陣，(\mathbf{y}) 是標籤向量。

   [ \mathbf{w} = (\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\top}\mathbf{y} ] [ b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i - \mathbf{w}^{\top}\mathbf{x}_i ]

3. 奇異值分解（SVD）： 如果 (\mathbf{X}) 的列空間不滿足 (\mathbf{X}^{\top}\mathbf{X}) 的 Rank 條件，則可以使用 SVD 來求解。SVD 將 (\mathbf{X}) 分解為 (\mathbf{U}\Sigma\mathbf{V}^{\top})，其中 (\mathbf{U}) 和 (\mathbf{V}) 是正交矩陣，(\Sigma) 是對角矩陣。

   [ \mathbf{w} = \mathbf{V}\Sigma^{-1}\mathbf{U}^{\top}\mathbf{y} ] [ b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i - \mathbf{w}^{\top}\mathbf{x}_i ]

4. QR 分解： 如果 (\mathbf{X}) 的列空間是滿的，則可以使用 QR 分解來求解。QR 分解將 (\mathbf{X}) 分解為 (\mathbf{Q}\mathbf{R})，其中 (\mathbf{Q}) 是正交矩陣，(\mathbf{R}) 是上三角矩陣。

   [ \mathbf{w} = \mathbf{R}^{-1}\mathbf{Q}^{\top}\mathbf{y} ] [ b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i - \mathbf{w}^{\top}\mathbf{x}_i ]

選擇哪種方法取決於數據的特徵、模型的複雜度以及計算資源等因素。在實際應用中，梯度下降法因其靈活性和適應性而被廣泛使用，尤其是在處理大型數據集和複雜模型時。