如何求最小公因數

求兩個或更多整數的最小公因數（Greatest Common Divisor, GCD）有幾種方法，以下是幾種常見的方法：

1. 質因數分解法： 將每個數分解成質因數的乘積，然後找出所有共同出現的質因數，將它們相乘得到最小公因數。

2. 長除法： 使用長除法將較大的數除以較小的數，直到餘數為0。然後取每一個除數的乘積作為最小公因數。

3. 歐幾里得算法（Euclidean algorithm）： 這是求兩個整數最小公因數的一種高效算法。算法的基本思想是：兩個整數a和b的最小公因數等於a除以b的餘數c和b之間的最小公因數。如果c=0，則b就是a和b的最小公因數。

   假設a > b，則有： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

   其中，a mod b表示a除以b的餘數。

4. 輾轉相除法： 這是歐幾里得算法的一種實現方式，它通過不斷用較大的數除以較小的數，直到不能整除為止，然後返回上一個除數。

   步驟如下：

   1. 如果a <= b，則最小公因數是a。
   2. 如果a > b，則最小公因數是b。
   3. 計算a mod b的值，並將其賦給a。
   4. 將b賦給a。
   5. 將a mod b賦給b。
   6. 重複步驟3-5，直到a和b相等，此時a就是最小公因數。

5. 擴展歐幾里得算法： 擴展歐幾里得算法不僅可以找到兩個整數a和b的最小公因數，還可以找到一組整數x和y，使得ax + by = gcd(a, b)。

   步驟如下：

   1. 如果a <= b，則最小公因數是a。
   2. 如果a > b，則最小公因數是b。
   3. 計算x0 = 1, y0 = 0, x1 = 0, y1 = 1。
   4. 計算q = a / b，r = a % b。
   5. 如果r == 0，則算法結束，最小公因數是b，x = x0, y = y0。
   6. 計算x2 = x1, y2 = y1 - q * x2。
   7. 計算x1 = x0, y1 = y0。
   8. 計算x0 = x2, y0 = y2。
   9. 重複步驟4-8，直到r == 0。

6. 使用輾轉相除法求解線性同餘方程組： 如果需要求解線性同餘方程組，可以使用輾轉相除法來找到一組解。

   例如，求解方程組： 3x ≡ 1 (mod 5) 4y ≡ 2 (mod 7)

   首先求出gcd(3, 5)和gcd(4, 7)，然後使用擴展歐幾里得算法找到一組解。

在實際套用中，通常使用程式語言來實現這些算法來求最小公因數。例如，在Python中可以使用math.gcd()函式來求兩個整數的最小公因數。